一元函数微积分

不定积分基本公式

$\int 0 \mathrm{d} x=C$

$\int x^{a} \mathrm{d} x=\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C \quad(\alpha \neq$

$\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$

$\int a^{x} \mathrm{d} x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C \quad(a>0, a \neq 1)$

$\int \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{C}$

$\int \sin x d x=-\cos x+C$

$\int \cos x \mathrm{d} x=\sin x+C$

$\int \sec ^{2} x \mathrm{d} x=\tan x+C_{1}$

$\int \csc ^{2} x d x=-\cot x+C$

$\int \sec x \tan x d x=\sec x+C$

$\int \csc x \cot x \mathrm{d} x=-\csc x+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{d} x=\arcsin x+C$

$\int \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{d} x=\arctan x+C$

$\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C_{3}$

$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln |x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+C$

$\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln (x+\sqrt{x^{2}+a^{2}})+C$

$\int \csc x \mathrm{d} x=-\ln |\csc x+\cot x|+C$

$\int \sec x \mathrm{d} x=\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C$

$\int \cot x d x=\ln |\sin x|+c$

主要积分法

第一类换元（凑微分）

第二类换元

被积函数含有 $\sqrt{a^{2}-x^{2}},$ 令 $x=a \sin t(\text { 或 } a \cos t)$
被积函数含有 $\sqrt{a^{2}+x^{2}},$ 令 $x=a \tan t$
被积函数含有 $\sqrt{x^{2}-a^{2}},$ 令 $x=a \sec t$

分部积分

凑$p_{n}(x)$之外的部分

• $\int p_{n}(x) \mathrm{e}^{a x} \mathrm{d} x$
• $\int p_{n}(x) \sin \alpha x \mathrm{d} x$
• $\int p_{n}(x) \cos \alpha x \mathrm{d} x$

注：$\int p_{n}(x)三角函数dx$中$\sin x、\cos x$一定是一次的，其他三角函数都是二次的

凑$p_{n}(x)$

• $\int P_{n}(x) \ln x \mathrm{d} x$
• $\int p_{n}(x) \arctan x \mathrm{d} x$
• $\int p_{n}(x) \arcsin x \mathrm{d} x$

凑谁都行

• $\int \mathrm{e}^{\alpha x} \sin \beta x \mathrm{d} x$
• $\int \mathrm{e}^{\alpha x} \cos \beta x \mathrm{d} x$

注：一般凑指数，开头I=…，凑两次即可

其他

• $\int \sec^{(n)} x$
• $\int \csc^{(n)} x$

注：n一定是奇数，如果是偶数则用$1+\tan^2 x = \sec^2 x$解决

三类常见可积函数

$\int e^{x^{2}} dx$、$\int \frac{\sin x}{x} dx$、$\int \frac{\cos x}{x} d x$

积不出的积分，遇到直接想别的方法

有理函数积分

假分式化成多项式+真分式

真分式分解为几部分和

三角有理式积分

一般方法(万能代换) $\quad$ 令 $\tan \frac{x}{2}=t$
$\int R(\sin x, \cos x) \mathrm{d} x=\int R\left(\frac{2 t}{1+t^{2}}, \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right) \frac{2}{1+t^{2}} \mathrm{d} t$
特殊方法（三角变形,换元，分部） 几种常用的换元法

• 若 $R(-\sin x, \cos x)=-R(\sin x, \cos x)$，则令 $u=\cos x,$ 或凑 $\operatorname{dcos} x$
• 若 $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x, \cos x)$，则令 $u=\sin x,$ 或凑$\operatorname{dsin} x$
• 若 $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x, \cos x)$ ，则令 $u=\tan x,$ 或凑 $\operatorname{dtan} x$

简单无理函数积分

$\int R(x, \sqrt[n]{\frac{a x+b}{c x+d}}) \mathrm{d} x$直接$令t=\sqrt …$

定积分

变上限积分：

$\left(\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(t) d t\right)^{\prime}=f\left[\varphi_{2}(x)\right] \cdot \varphi_{2}^{\prime}(x)-f\left[\varphi_{1}(x)\right] \cdot \varphi_{1}^{\prime}(x)$

牛顿莱布尼兹公式：

$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)$

利用函数性质

设 $f(x) \text 为[-a, a]$ 上的连续函数 $(a>0),$ 则

$\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x) \text { 为奇函数时 } \\ 2 \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x, & f(x) \text { 为偶函数时 } \end{array}\right.$

设 $f(x)$ 是以 T 为周期的连续函数,则对任给数 a,总有
$\int_{a}^{a+T} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x$

$\int_{a}^{a+nT} f(x) \mathrm{d} x=n \int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x(n \in \mathbf{N})$

利用三角函数

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x$

$\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) d x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) d x$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x d x=\left\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \frac{\pi}{2}, & n \text { 为正偶数 } \\ \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3}, & n \text { 为大于 } 1 \text { 的奇 }_{0}, \ldots\end{array}\right.$
$\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x \quad(\text { 其中 } f(x) \text { 连续 })$

基本初等函数的导数公式

$(C)^{\prime}=0$

$\left(x^{a}\right)^{\prime}=a x^{n-1}$

$\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \ln a$

$\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{x}$

$\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$

$(\ln |x|)^{\prime}=\frac{1}{x}$

$(\sin x)^{\prime}=\cos x$

$(\cos x)^{\prime}=-\sin x$

$(\tan x)^{\prime}=\sec ^{2} x$

$(\cot x)^{\prime}=-\csc ^{2} x$

$(\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x$

$(\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x$

$(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$(\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$

$(\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}}$